Зачем нужна эта тема?
До сих пор каждый признак сходимости в вашем арсенале — сравнения, Даламбера, Коши, интегральный — был предназначен для рядов с неотрицательными членами. Но многие важные ряды содержат члены, меняющие знак. Знакочередующийся гармонический ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$ — простейший пример: его члены не все положительны, поэтому ни один из признаков для неотрицательных рядов напрямую не применим.
Два чётких вопроса возникают при встрече с любым знакопеременным рядом $\sum a_n$:
- Сходится ли абсолютный ряд $\sum |a_n|$?
- Сходится ли исходный ряд $\sum a_n$?
Казалось бы, возможны четыре комбинации. Одна из них — «$\sum|a_n|$ сходится, а $\sum a_n$ расходится» — исключена центральной теоремой этого урока. Оставшиеся три определяют трихотомию, которая классифицирует каждый ряд, с которым вы когда-либо столкнётесь.
1. Знакочередующиеся ряды и признак Лейбница
Определение — Знакочередующийся ряд
Ряд называется знакочередующимся, если его члены строго чередуются по знаку. Стандартные формы записи:
$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n = b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + \cdots \qquad (b_n > 0)$$
$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}b_n = -b_1 + b_2 - b_3 + b_4 - \cdots \qquad (b_n > 0)$$
Пусть $\{b_n\}$ — последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условиям:
- $b_{n+1}\le b_n$ для всех $n$ (монотонное убывание), и
- $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n = 0$.
Тогда знакочередующийся ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ сходится.