1. Мотивация: две классические задачи — один математический объект
Допустим, положение автомобиля в момент времени $t$ задаётся функцией $s(t)$. На промежутке времени $[a, a+h]$ средняя скорость равна:
$$v_{\text{ср}} = \frac{s(a+h) - s(a)}{h}$$
По мере сужения промежутка — при $h \to 0$ — средняя скорость на всё более коротких интервалах приближается к мгновенной скорости в момент $t = a$:
$$v(a) = \lim_{h \to 0} \frac{s(a+h) - s(a)}{h}$$
Дана кривая $y = f(x)$. Проведём секущую через две точки $(a, f(a))$ и $(a+h, f(a+h))$. Её угловой коэффициент равен:
$$m_{\text{сек}} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
При $h \to 0$ вторая точка скользит к первой, и секущая поворачивается, превращаясь в касательную. Угловой коэффициент касательной:
$$m_{\text{кас}} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
Интерактив: наблюдайте, как секущая приближается к касательной
Перемещайте ползунок, чтобы уменьшить $h$ до 0, и увидите, как секущая превращается в касательную.
2. Определение производной
Пусть $f$ определена на открытом интервале, содержащем точку $a$. Производная функции $f$ в точке $a$ — это
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
при условии, что этот предел существует. Эквивалентная форма (при замене $x = a + h$):
$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$