1. Два требования вместе: что такое базис?
Вспомним предыдущую тему: Мы изучали два свойства набора векторов по отдельности:
- Порождение (полнота): Множество $S$ порождает векторное пространство $V$, если каждый вектор из $V$ можно записать как линейную комбинацию векторов из $S$. (Достаточно векторов, чтобы «добраться» до любого.)
- Линейная независимость: Множество $S$ линейно независимо, если ни один вектор в $S$ не является лишним — единственный способ получить нулевой вектор из линейной комбинации — это взять все коэффициенты равными нулю. (Ни один вектор не «тратится впустую».)
Определение — Базис
Базис векторного пространства $V$ — это набор векторов $\mathcal{B} = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}$, который удовлетворяет обоим требованиям одновременно:
- Независимость: $c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0} \;\Longrightarrow\; c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0.$
- Порождение: Для любого $\mathbf{v} \in V$ существуют скаляры $a_1, \ldots, a_n$ такие, что $\mathbf{v} = a_1\mathbf{v}_1 + \cdots + a_n\mathbf{v}_n.$
Коротко: базис — это линейно независимая порождающая система — достаточно векторов, чтобы выразить всё, и ни один вектор не лишний.