Первый замечательный предел
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$
Также известен как Fundamental Trigonometric Limit в англоязычной литературе и как первый замечательный предел в русской математической традиции.
1. Формулировка и смысл
Почему это нетривиально?
При $x = 0$ и числитель $\sin x$, и знаменатель $x$ равны нулю. Если попытаться подставить напрямую:
$$\frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0} \quad \text{— неопределённость!}$$Это настоящая неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Выражение $\frac{0}{0}$ не является числом — оно может «равняться» чему угодно. Для того чтобы установить, что предел равен именно $1$, необходимо специальное рассуждение.
Геометрическая интуиция
На единичной окружности для малого угла $x$ (в радианах):
- Длина дуги, стягиваемой углом, равна в точности $x$ (по определению радианной меры).
- Синус $\sin x$ — это вертикальная проекция радиуса, то есть $y$-компонента хорды.
При малых углах дуга и хорда становятся практически неразличимыми. Синус практически равен самому углу. В этом и состоит геометрическая суть предела.
Интерактивный график: $y = \frac{\sin x}{x}$ вблизи $x = 0$
Обратите внимание, как $\frac{\sin x}{x} \to 1$ при $x \to 0$ с обеих сторон. Функция является чётной: $\frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{\sin x}{x}$.
2. Геометрическое доказательство (теорема о двух милиционерах)
Построение на единичной окружности
Рассмотрим единичную окружность (радиус $r = 1$) с центром в начале координат $O$. Пусть $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$. Выделим три области: