1. Что такое матрица?
Матрица — это прямоугольная таблица чисел (или других математических объектов), расположенных в горизонтальных строках и вертикальных столбцах. Отдельные числа внутри матрицы называются её элементами.
Формальное определение
Матрица с $m$ строками и $n$ столбцами называется матрицей $m \times n$ (читается «$m$ на $n$»). Говорят, что матрица имеет порядок (или размерность) $m \times n$.
$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$Двойная индексация — доведи до автоматизма
Элемент, стоящий в $i$-й строке и $j$-м столбце, записывается как $a_{ij}$. Правило такое: всегда сначала строка, потом столбец. Это незыблемо:
- $a_{23}$ означает «строка 2, столбец 3» — никогда наоборот.
- Всю матрицу можно записать кратко как $A = (a_{ij})$, где $1 \le i \le m$ и $1 \le j \le n$.
Равенство матриц
Две матрицы $A = (a_{ij})$ и $B = (b_{ij})$ равны тогда и только тогда, когда:
- Они имеют одинаковые размерности ($m \times n$), и
- Все соответствующие элементы равны: $a_{ij} = b_{ij}$ для всех $i, j$.
Если хотя бы один элемент отличается или размерности не совпадают, матрицы не равны.
2. Откуда берутся матрицы?
Матрица — это способ хранения данных. Её настоящая сила раскрывается через операции, которые мы над ней определяем. Но сначала посмотрим, где матрицы возникают естественным образом.
Любая таблица данных — это матрица. Например, данные о продажах 3 товаров за 4 квартала образуют матрицу $3 \times 4$.
Система:
$$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - y = 4 \end{cases}$$имеет матрицу коэффициентов $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -1 \end{pmatrix}$.
(Мы будем активно использовать эту идею при изучении систем линейных уравнений.)
Вектор-строка — это матрица $1 \times n$: $\begin{pmatrix} 3 & -1 & 7 \end{pmatrix}$
Вектор-столбец — это матрица $m \times 1$: $\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix}$
Векторы — это просто матрицы, у которых одна из размерностей равна 1.
Поворот на плоскости на угол $\theta$ можно записать в виде:
$$R = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$(Теорию, стоящую за этим, мы разберём позже — пока просто заметь, что массив $2 \times 2$ может описывать геометрическое действие.)