1. Главный вопрос
Когда один вектор можно выразить через остальные?
Представь, что у тебя есть семейство векторов $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\}$. Возникает естественный вопрос: является ли какой-нибудь из этих векторов лишним — то есть можно ли его записать как комбинацию остальных?
Например, если $\mathbf{v}_3 = 2\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2$, то $\mathbf{v}_3$ «зависит» от $\mathbf{v}_1$ и $\mathbf{v}_2$. Но такая формулировка выделяет $\mathbf{v}_3$ — она назначает один вектор «зависимым». Мы можем переписать то же соотношение симметрично:
$$ 2\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_3 = \mathbf{0} $$Теперь ни один вектор не выделен. Это приводит к симметричному определению, которое одинаково относится ко всем векторам.
📌 Основные определения
Линейная зависимость
Семейство векторов $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\}$ называется линейно зависимым, если существуют такие скаляры $c_1, c_2, \ldots, c_k$, не все равные нулю, что:
$$ c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0} $$Линейная независимость
Семейство векторов $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\}$ называется линейно независимым, если уравнение
$$ c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0} $$имеет только тривиальное решение $c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0$.
- Зависимость = существует хотя бы один набор коэффициентов, не все из которых равны нулю, при котором комбинация обращается в ноль.
- Независимость = единственный набор коэффициентов, при котором комбинация обращается в ноль, — это нулевой набор.
Тривиальная комбинация (все $c_i = 0$) всегда даёт $\mathbf{0}$ для любого набора векторов. Это не является доказательством зависимости! Зависимость требует нетривиальной комбинации, дающей $\mathbf{0}$.