Логарифмические уравнения и неравенства
Подробное пошаговое руководство — от предварительных сведений до задач с переменным основанием
1. Повторение необходимых сведений
1.1 Определение логарифма
Логарифм определяется как обратная операция к возведению в степень:
$$\log_a b = c \;\Longleftrightarrow\; a^{c} = b, \qquad a > 0,\; a \neq 1,\; b > 0$$
Читается так: «$\log_a b$ — это показатель степени, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить $b$.» Три ограничения ($a>0$, $a\neq 1$, $b>0$) являются обязательными — они следуют из свойств показательной функции $a^x$.
1.2 Основные свойства
Все приведённые ниже правила предполагают положительные аргументы и положительное основание, не равное 1.
| Свойство | Формула | Условие |
|---|---|---|
| Логарифм произведения | $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ | $x>0,\; y>0$ |
| Логарифм частного | $\log_a\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$ | $x>0,\; y>0$ |
| Логарифм степени | $\log_a(x^{k}) = k\,\log_a x$ | $x>0$ |
| Формула перехода к другому основанию | $\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}$ | $b>0,\;b\neq 1$ |
⚠ Внимание: Логарифм суммы НЕ равен сумме логарифмов: $\log_a(x+y) \neq \log_a x + \log_a y$. Аналогично, $(\log_a x)^r \neq r\,\log_a x$ — правило логарифма степени применяется только тогда, когда в степень возводится аргумент, а не весь логарифм.
1.3 Монотонность
Функция $y = \log_a x$:
- Строго возрастает при $a > 1$ (например, $\log_2$, $\ln$, $\log_{10}$).
- Строго убывает при $0 < a < 1$ (например, $\log_{1/2}$, $\log_{0{,}3}$).
Именно это свойство лежит в основе решения любого логарифмического неравенства.
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке