Поверхностные интегралы — первого и второго рода
Общая картина: Вы уже умеете интегрировать вдоль кривых (криволинейные интегралы). Теперь мы поднимаемся на одну размерность выше: интегрируем по поверхностям, расположенным в трёхмерном пространстве. Возникают два варианта — один взвешивает поверхность скалярной плотностью (первый род), а другой измеряет, какая часть векторного поля проходит сквозь поверхность (второй род, называемый потоком).
1Первый род — скалярные поверхностные интегралы
1.1 Знакомая схема
Представьте тонкую изогнутую оболочку — абажур, купол, кусочек яичной скорлупы — с известной поверхностной плотностью массы $\sigma(x,y,z)$ (масса на единицу площади). Чтобы найти полную массу оболочки, нужно просуммировать $\sigma\,dS$ по каждому маленькому кусочку поверхности. Это в точности та же схема, которую вы уже встречали четыре раза:
| Объект | Тип плотности | Элемент | Интеграл даёт |
|---|---|---|---|
| Проволока (1-D) | линейная $\lambda$ | $ds$ | $\int_C \lambda\,ds$ |
| Плоская пластина (2-D) | поверхностная $\sigma$ | $dA$ | $\iint_R \sigma\,dA$ |
| Твёрдое тело (3-D) | объёмная $\rho$ | $dV$ | $\iiint_E \rho\,dV$ |
| Изогнутая оболочка (2-D в 3-D) | поверхностная $\sigma$ | $dS$ | $\displaystyle\iint_S \sigma\,dS$ |
Единственный новый ингредиент — это элемент площади поверхности $dS$ — всё остальное построение повторяет ту же самую схему.
1.2 Параметрическое задание поверхности
Вспомните из курса отображений: параметрическая поверхность — это функция
$$\mathbf{r}(u,v) = \bigl\langle x(u,v),\; y(u,v),\; z(u,v)\bigr\rangle, \qquad (u,v)\in D\subseteq\mathbb{R}^2$$