Определитель 2×2 — Определение и геометрический смысл
Определение
Для матрицы $2 \times 2$
$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, $$определитель — это скаляр
$$ \det(A) = ad - bc. $$Также используют обозначения $|A|$ или $\det A$.
Геометрический смысл — Ориентированная площадь параллелограмма
Представим две строки матрицы $A$ как векторы на плоскости:
$$ \mathbf{r}_1 = (a,\, b), \qquad \mathbf{r}_2 = (c,\, d). $$Расположим оба вектора так, чтобы их начала совпадали с началом координат. Они образуют параллелограмм. Определитель $ad - bc$ равен ориентированной площади этого параллелограмма.
Вспомним — Векторное произведение: Если вы изучали векторное произведение двух двумерных векторов, то видели, что $\mathbf{r}_1 \times \mathbf{r}_2 = ad - bc$. Это и есть определитель! Модуль векторного произведения даёт площадь, а знак — ориентацию.
- Положительный определитель: поворот от $\mathbf{r}_1$ к $\mathbf{r}_2$ происходит против часовой стрелки (стандартная ориентация сохраняется).
- Отрицательный определитель: поворот происходит по часовой стрелке (ориентация меняется на противоположную).
- Нулевой определитель: два вектора коллинеарны — параллелограмм вырождается в отрезок с нулевой площадью.
Ключевой критерий
$\det(A) = 0$ тогда и только тогда, когда строки пропорциональны (одна является скалярным кратным другой). Геометрически это означает, что векторы направлены в одну или в противоположные стороны.
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
Интерактив: перетаскивайте концы векторов, чтобы увидеть, как меняется ориентированная площадь (определитель).
Определитель 3×3 — Правило Саррюса и ориентированный объём
Формула раскрытия
Для
$$ A = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}, $$определитель равен
$$ \det(A) = a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_3 b_2 c_1 - a_2 b_1 c_3 - a_1 b_3 c_2. $$