1. Язык теории вероятностей
Основные понятия
| Термин | Определение | Пример |
|---|---|---|
| Случайный эксперимент | Повторяемый процесс, результат которого нельзя предсказать с определённостью. | Бросок кубика, подбрасывание монеты, вытягивание карты. |
| Элементарный исход | Единичный, неделимый результат эксперимента (также называется элементарным событием). | Выпадение числа 4; вытягивание дамы червей. |
| Пространство элементарных исходов ($S$) | Множество всех элементарных исходов. | $S_{\text{кубик}} = \{1,2,3,4,5,6\}$ |
| Событие | Любое подмножество пространства элементарных исходов. | «Выпало чётное число» $= \{2,4,6\}$ |
🔑 Золотое правило: Всегда записывайте пространство элементарных исходов до любых вычислений. Одна эта привычка предотвращает большинство ошибок в теории вероятностей.
Конкретные пространства элементарных исходов
Один правильный кубик
$$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$
$|S| = 6$ элементарных исходов, каждый равновероятен.
Две монеты
$$S = \{ОО, ОР, РО, РР\}$$
$|S| = 4$. Обратите внимание: $ОР \neq РО$ — порядок важен, потому что монеты различимы (первая монета, вторая монета).
Одна карта из стандартной колоды
$$|S| = 52$$
Каждая карта — отдельный элементарный исход: туз пик, двойка пик, …, король бубен.
2. Алгебра событий
События — это множества, поэтому мы работаем с ними с помощью операций над множествами. Каждая операция имеет перевод на обычный язык.
| Операция | Обозначение | Значение | На обычном языке |
|---|---|---|---|
| Объединение | $A \cup B$ | Все исходы, входящие в $A$ или $B$ (или в оба) | «Произошло хотя бы одно из событий $A$, $B$» |
| Пересечение | $A \cap B$ | Исходы, входящие одновременно в $A$ и $B$ | «Произошли оба события $A$ и $B$» |
| Дополнение | $A'$ (или $\overline{A}$) | Все исходы, НЕ входящие в $A$ | «Событие $A$ не произошло» |
| Достоверное событие | $S$ | Всё пространство элементарных исходов | «Что-то обязательно произойдёт» |
| Невозможное событие | $\emptyset$ | Пустое множество | «Ничего не произойдёт» (противоречие) |