1.1 Правило для одной переменной

Вы уже знаете правило подстановки для определённого интеграла. Если $x = g(u)$ — дифференцируемая взаимно однозначная функция, отображающая $[c,d]$ на $[a,b]$, то

$$ \int_a^b f(x)\,dx \;=\; \int_c^d f\!\bigl(g(u)\bigr)\,\bigl|g'(u)\bigr|\,du. $$

Одновременно происходят две вещи:

1. Преобразуются пределы интегрирования — $a$ и $b$ заменяются их прообразами $c$ и $d$.
2. Появляется множитель-производная — множитель $|g'(u)|$ компенсирует растяжение или сжатие, которое $g$ производит на оси $u$.

1.2 Ответ: определитель Якоби

Одномерная производная $g'(u)$ измеряет, насколько маленький отрезок $du$ растягивается в $dx$. В двух измерениях отображение $T(u,v) = \bigl(x(u,v),\, y(u,v)\bigr)$ превращает маленькие прямоугольники в маленькие параллелограммы. Множитель, измеряющий это локальное увеличение площади, — это модуль определителя Якоби:

$$ \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| \;=\; \left|\det\begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}\right| \;=\; \left|\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}\right|. $$

Это и есть якобиан — тот самый инструмент, который мы построили при изучении локальной обратимости и коэффициента увеличения площади, а теперь встраиваем в формулу интеграла.