1 — Что такое обыкновенное дифференциальное уравнение?
Определение
Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) — это уравнение, которое связывает неизвестную функцию $y(t)$ (или $y(x)$) с одной или несколькими её производными. Например:
$$ \frac{dy}{dt} = 3y $$Здесь неизвестное — не число $y$, а функция $y(t)$, производная которой равна утроенному значению самой функции.
Обыкновенные и частные — одно честное предложение
ОДУ содержит производные по одной независимой переменной; уравнение в частных производных (УЧП) содержит частные производные по нескольким независимым переменным (например, по $x$ и $t$ одновременно). В этом курсе мы изучаем только ОДУ.
Порядок
Порядок ОДУ — это наивысшая производная, которая встречается в уравнении. Определить его можно сразу:
| Уравнение | Наивысшая производная | Порядок |
|---|---|---|
| $y' = 2y$ | $y'$ | 1 |
| $y'' + 4y = 0$ | $y''$ | 2 |
| $y''' - y' + y = e^t$ | $y'''$ | 3 |
| $y^{(4)} + y'' = \sin t$ | $y^{(4)}$ | 4 |
2 — Откуда берутся уравнения: искусство моделирования
Каждое ОДУ в этом курсе начиналось как предложение о реальном мире. Первый навык в этой области — перевод: превращение словесного утверждения в дифференциальное уравнение. Два ключевых приёма:
- Скорости становятся производными: «скорость изменения $P$» превращается в $\dfrac{dP}{dt}$.