1. Понятие: Что такое обратная матрица?
Определение
Для квадратной матрицы $A$ размера $n \times n$ обратная матрица $A$, обозначаемая $A^{-1}$, — это единственная матрица, удовлетворяющая условию:
$$A\,A^{-1} = A^{-1}A = I$$где $I$ — единичная матрица размера $n \times n$. Другими словами, $A^{-1}$ отменяет действие умножения на $A$.
Аналогия с обратными числами
Для ненулевого числа $a$ обратное число $a^{-1} = \tfrac{1}{a}$ удовлетворяет равенству $a \cdot a^{-1} = 1$. Обратная матрица играет точно такую же роль, при этом единичная матрица $I$ заменяет число $1$.
Единственность (доказательство в три строки)
Предположим, что и $B$, и $C$ являются обратными матрицами для $A$. Тогда:
$$B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C$$Значит, $B = C$. Обратная матрица, если она существует, единственна.
2. Критерий: Когда обратная матрица существует?
Теорема об обратимости
Квадратная матрица $A$ обратима тогда и только тогда, когда $\det(A) \neq 0$.
Терминология
| Термин | Значение |
|---|---|
| Невырожденная (обратимая) | $\det(A) \neq 0$; $A^{-1}$ существует |
| Вырожденная (необратимая) | $\det(A) = 0$; $A^{-1}$ не существует |
Почему определитель определяет обратимость
Направление 1 («если обратима, то $\det \neq 0$»): Предположим, что $A^{-1}$ существует. По свойству мультипликативности определителей:
$$\det(A)\,\det(A^{-1}) = \det(A\,A^{-1}) = \det(I) = 1$$Значит, $\det(A)$ не может быть равен нулю, и более того:
$$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$$Направление 2 («если $\det \neq 0$, то обратима»): Конструкция присоединённой матрицы, описанная ниже, явно строит $A^{-1}$ при условии $\det(A) \neq 0$, что доказывает обратное утверждение.