1. Зачем нужны комплексные числа? — Историческая и логическая мотивация
Главный вопрос: Что делать, если уравнение не имеет вещественного решения? На протяжении веков математики просто говорили: «решения не существует». Но в конце концов сама математика заставила их изобрести новый вид чисел.
1.1 Лестница числовых множеств (вспомним)
Вы уже поднимались по этой лестнице в теме «Числовые множества». Каждая новая ступенька появлялась потому, что предыдущее множество чисел не могло решить определённые уравнения:
| Числовое множество | Обозначение | Какое уравнение решает | Ограничение |
|---|---|---|---|
| Натуральные числа | $\mathbb{N}$ | $x + 3 = 7$ | $x + 7 = 3$ не имеет решения |
| Целые числа | $\mathbb{Z}$ | $x + 7 = 3$ | $2x = 5$ не имеет решения |
| Рациональные числа | $\mathbb{Q}$ | $2x = 5$ | $x^2 = 2$ не имеет решения |
| Вещественные числа | $\mathbb{R}$ | $x^2 = 2$ | $x^2 = -1$ не имеет решения |
| Комплексные числа | $\mathbb{C}$ | $x^2 = -1$ ✓ | Любое полиномиальное уравнение теперь имеет корень! |
Комплексные числа — это следующая ступенька на этой лестнице, и, что удивительно, последняя ступенька, которая когда-либо понадобится для решения полиномиальных уравнений.
1.2 Настоящая история: дело было в кубических уравнениях, а не в квадратных
Можно подумать, что комплексные числа были придуманы потому, что кто-то упорно хотел решить уравнение $x^2 + 1 = 0$. Но это не так. Квадратное уравнение без вещественных корней можно было просто отбросить: «нет решения». Никому не нужно было изобретать новые числа ради этого.