1. Зачем нужно расширять определённый интеграл
Существует ровно два способа, которыми может нарушиться рамка Римана:
Промежуток интегрирования простирается до $+\infty$ или $-\infty$ (или в обе стороны). Например:
$$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$$Конечного верхнего предела нет, поэтому обычную риманову сумму построить невозможно.
Подынтегральная функция обращается в бесконечность в одной или нескольких точках промежутка. Например:
$$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$$Здесь $f(x) = 1/\sqrt{x} \to \infty$ при $x \to 0^+$, поэтому $f$ неограничена на $[0,1]$.
Объединяющая идея: пределы собственных интегралов
В обоих случаях стратегия одна и та же: заменить проблемный интеграл пределом обычных (собственных) интегралов. Центральный вопрос тогда таков: существует ли этот предел и равен ли он конечному числу?
2. Тип I — Бесконечные пределы интегрирования
2.1 Один бесконечный предел
Определение. Если $f$ непрерывна на $[a,\infty)$, то
$$\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_a^b f(x)\,dx$$при условии, что предел существует. Аналогично, если $f$ непрерывна на $(-\infty, b]$:
$$\int_{-\infty}^{b} f(x)\,dx = \lim_{a\to -\infty} \int_a^b f(x)\,dx$$