1. Переформулировка задачи: условные и безусловные экстремумы
Условный экстремум — это наибольшее или наименьшее значение функции $f$, достигаемое не на всей плоскости, а только среди точек, удовлетворяющих дополнительному уравнению $g(x,y)=c$. Это уравнение называется ограничением (связью), а множество точек, ему удовлетворяющих — кривая на плоскости или поверхность в пространстве — называется множеством ограничений.
Наглядный пример
Рассмотрим плоскость $z = 2x + 3y$. Сама по себе она не имеет ни наибольшей, ни наименьшей точки — она простирается до $\pm\infty$. Но если мы ограничимся окружностью $x^2+y^2=9$, то высота плоскости на этой окружности имеет максимум и минимум. Это и есть условные экстремумы.
Путь подстановки — честное признание
Первая мысль может быть такой: выразить из ограничения одну переменную и подставить. Если $g(x,y)=c$ можно переписать как $y=h(x)$, то задача сводится к задаче одномерного анализа: найти экстремум $\tilde{f}(x)=f(x,h(x))$.
Когда это работает: Для простых ограничений (например, $2x+y=6 \Rightarrow y=6-2x$) подстановка быстра и удобна.
Когда это не работает или создаёт трудности:
- Неразрешимые ограничения: Многие ограничения невозможно явно разрешить относительно переменной. Попробуйте выразить $y$ из $x^3 + \sin(xy) = 1$ — не получится.