Определённые интегралы: от сумм Римана до формулы Ньютона–Лейбница
Основная теорема анализа — от прямоугольников до самой мощной формулы в математике
1. Задача о площади и суммы Римана
1.1 Разбиения
Предположим, мы хотим найти площадь под кривой $y = f(x) \ge 0$ от $x = a$ до $x = b$. Начнём с того, что разобьём отрезок $[a,b]$ на $n$ частей.
Определение (Разбиение). Разбиением отрезка $[a,b]$ называется конечное множество точек
$$P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n\} \quad\text{где}\quad a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b.$$
Длины частичных отрезков равны $\Delta x_k = x_k - x_{k-1}$, а диаметр (или мелкость) разбиения — это $\|P\| = \max_k \Delta x_k$.
1.2 Отмеченные точки и суммы Римана
В каждом частичном отрезке $[x_{k-1}, x_k]$ выбираем отмеченную точку $c_k$. Прямоугольник над этим отрезком имеет ширину $\Delta x_k$ и высоту $f(c_k)$.
Определение (Сумма Римана).
$$S(f,P,\{c_k\}) = \sum_{k=1}^{n} f(c_k)\,\Delta x_k$$
Типичные способы выбора $c_k$:
- Левые концы: $c_k = x_{k-1}$
- Правые концы: $c_k = x_k$
- Середины: $c_k = \tfrac{x_{k-1}+x_k}{2}$
1.3 Измельчение разбиения и предельный переход
По мере уменьшения диаметра $\|P\|$ (что равносильно $n \to \infty$ для равномерных разбиений) прямоугольники всё точнее прилегают к кривой. Сумма Римана стремится к единственному числу — при условии, что это число одно и то же независимо от выбора разбиения и отмеченных точек.
Определение (Определённый интеграл). Если существует число $I$ такое, что для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$, при котором
$$\left|\sum_{k=1}^{n} f(c_k)\,\Delta x_k - I\right| < \varepsilon$$
всякий раз, когда $\|P\| < \delta$,