1. Комплексная плоскость и диаграмма Аргана
Историческая справка: Диаграмма Аргана названа в честь Жана-Робера Аргана (1806), хотя на самом деле её впервые описал норвежско-датский математик Каспар Вессель. Она сделала комплексные числа геометрически наглядными и помогла «мнимым» числам стать признанными в математике.
1.1 Комплексные числа как точки
Каждому комплексному числу $z = a + bi$ соответствует единственная точка $(a,\, b)$ в двумерной координатной плоскости, называемой комплексной плоскостью (или плоскостью Аргана).
- Горизонтальная ось — это вещественная ось (обозначается $\text{Re}$). На ней расположены все вещественные числа.
- Вертикальная ось — это мнимая ось (обозначается $\text{Im}$). На ней расположены все чисто мнимые числа.
- Вещественная часть $a$ задаёт горизонтальную координату; мнимая часть $b$ задаёт вертикальную координату.
Важное соглашение: Когда вы отмечаете $z = 3 + 4i$, вы ставите точку $(3,\, 4)$. Буква $i$ не входит в координату — вы используете только числовой коэффициент $4$, а не «$4i$».
1.2 Радиус-вектор
Каждое комплексное число $z = a + bi$ можно также рассматривать как радиус-вектор $\vec{OZ}$ из начала координат $O = (0,0)$ в точку $Z = (a,b)$. Такое двойное прочтение — точка или вектор — это та же самая идея, которую вы встречали при изучении радиус-векторов в координатной геометрии, и мы будем использовать то прочтение, которое удобнее в каждом конкретном случае.
| Комплексное число $z$ | Точка $(x,y)$ | Четверть / Ось |
|---|---|---|
| $3 + 2i$ | $(3, 2)$ | I четверть |
| $-4 + i$ | $(-4, 1)$ | II четверть |
| $-2 - 3i$ | $(-2, -3)$ | III четверть |
| $5 - 2i$ | $(5, -2)$ | IV четверть |
| $4$ (т.е. $4 + 0i$) | $(4, 0)$ | Вещественная ось |
| $-3i$ (т.е. $0 - 3i$) | $(0, -3)$ | Мнимая ось |
| $0$ | $(0, 0)$ | Начало координат |
Интерактивная диаграмма Аргана
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
Каждое комплексное число показано как точка и как радиус-вектор из начала координат.