1. Вступительный вопрос: от Тейлора к Фурье
Вспомним ряд Тейлора: для гладкой функции $f(x)$ мы записываем
$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots $$
Это локальное полиномиальное подражание — приближение отлично вблизи точки $a$, но может расходиться далеко от неё. Ряд Тейлора использует информацию в одной точке (производные в $a$) для восстановления функции.
| Свойство | Ряд Тейлора | Ряд Фурье |
|---|---|---|
| Строительные блоки | Степени: $1, x, x^2, x^3, \ldots$ | Волны: $\cos(nx), \sin(nx)$ |
| Используемая информация | Производные в одной точке | Интегралы за один полный период |
| Область действия | Локальная (вблизи $x = a$) | Глобальная (весь период) |
| Лучше всего подходит для | Гладких, аналитических функций | Периодических функций (даже разрывных) |
Словарь периодичности
Функция $f(x)$ называется периодической с периодом $T$, если $f(x + T) = f(x)$ для всех $x$. Основная частота (фундаментальная) равна $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$. Семейство синусов и косинусов на целых кратных этой частоты:
$$ \cos(n\omega_0 x), \quad \sin(n\omega_0 x), \quad n = 1, 2, 3, \ldots $$
называются гармониками. В музыке $n=1$ — это основной тон, а $n=2, 3, \ldots$ — обертоны. Тембр музыкального инструмента определяется тем, сколько каждой гармоники присутствует — именно это и измеряют коэффициенты Фурье.