2.1 Формулировка

Для любого вещественного показателя $n \in \mathbb{R}$:

$$ \frac{d}{dx}\bigl[x^n\bigr] = n\,x^{n-1} $$

всюду, где $x^n$ определено.

2.2 Доказательство для натуральных показателей (через бином Ньютона)

Пусть $f(x) = x^n$, где $n \in \mathbb{N}$. По определению производной через предел:

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} $$

Шаг 1 — Разложим по биному Ньютона (вспомните эту тему из предыдущих занятий):

$$ (x+h)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} h^k = x^n + n\,x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n $$

Шаг 2 — Вычтем $x^n$ и разделим на $h$:

$$ \frac{(x+h)^n - x^n}{h} = \frac{n\,x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h} $$ $$ = n\,x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1} $$

Шаг 3 — Перейдём к пределу при $h \to 0$:

Каждое слагаемое, кроме первого, содержит множитель $h$, поэтому все они обращаются в нуль:

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left[ n\,x^{n-1} + \underbrace{\binom{n}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1}}_{\to\, 0} \right] = n\,x^{n-1} \quad \blacksquare $$

2.3 Обобщение на отрицательные и дробные показатели

Тип показателя	Способ обобщения
Отрицательные целые ($n < 0$)	Запишем $x^{-m} = \frac{1}{x^m}$ и применим правило частного (доказывается отдельно).
Рациональные ($n = p/q$)	Запишем $y = x^{p/q}$, тогда $y^q = x^p$. Продифференцируем неявно и найдём $y'$.
Произвольные вещественные $n$	Запишем $x^n = e^{n \ln x}$ и применим правило цепочки с производными показательной и логарифмической функций.

2.4 Объединение частных случаев

Правило степени — это единая формула, которая объединяет несколько результатов, которые вы, возможно, встречали по отдельности: