Двойной интеграл: определение и свойства
От площади под кривой к объёму под поверхностью — конструкция Римана, расширенная на одно измерение
1. Задача об объёме — площадь под кривой, но на измерение выше
1.1 Вспомним: интеграл Римана для функции одной переменной
В курсе математического анализа одной переменной вы строили определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ следующим образом:
- Разбивали отрезок $[a,b]$ на подотрезки шириной $\Delta x$.
- Выбирали пробную точку $x_i^*$ в каждом подотрезке.
- Составляли риманову сумму $\displaystyle S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x$.
- Переходили к пределу при $n \to \infty$ (все ширины $\to 0$).
Каждое слагаемое $f(x_i^*)\,\Delta x$ — это площадь тонкого прямоугольника. Предел даёт точную площадь под кривой $y = f(x)$ над отрезком $[a,b]$.
Напоминание: Это та самая конструкция Римана, которую вы освоили в курсе анализа одной переменной. Всё, что следует ниже, — та же самая история, рассказанная в двух измерениях.
1.2 Переход на новый уровень: объём под поверхностью
Пусть теперь $f(x,y)$ — функция двух переменных, определённая на плоской области $R$ (представьте себе прямоугольник $R = [a,b] \times [c,d]$ в плоскости $xy$). График $z = f(x,y)$ — это поверхность, парящая над $R$. Мы хотим найти объём тела, зажатого между $R$ и поверхностью — точно так же, как мы искали площадь между осью $x$ и кривой, но на одно измерение выше.
1.3 Построение — шаг за шагом
| Шаг | Что мы делаем |
|---|---|
| Разбиение | Разделим $R$ на маленькие ячейки (подпрямоугольники) площадью $\Delta A_k$. Если $R = [a,b]\times[c,d]$, разрежем $[a,b]$ на $m$ частей шириной $\Delta x$, а $[c,d]$ — на $n$ частей шириной $\Delta y$, получив $m \times n$ ячеек, каждая площадью $\Delta A = \Delta x \cdot \Delta y$. |
| Выбор точек | В каждой ячейке $R_{ij}$ выберем пробную точку $(x_{ij}^*,\, y_{ij}^*)$. |
| Суммирование | Составим двойную риманову сумму: $$S_{m,n} = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} f(x_{ij}^*,\, y_{ij}^*)\,\Delta A$$Каждое слагаемое — это объём тонкого прямоугольного столбика (основание $\Delta A$, высота $f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)$). |
| Измельчение и предел | Устремим $m,n \to \infty$ (диаметры всех ячеек $\to 0$). Предел, если он существует и одинаков для любого выбора разбиения и пробных точек, называется двойным интегралом. |