1. Определения: чётные и нечётные функции
Функция $f$ называется чётной, если для каждого $x$ из её области определения
$$ f(-x) = f(x). $$Другими словами: замена аргумента на противоположный не изменяет значение функции.
Функция $f$ называется нечётной, если для каждого $x$ из её области определения
$$ f(-x) = -f(x). $$Другими словами: замена аргумента на противоположный меняет знак значения функции.
Важное предварительное условие — Симметрия области определения
Прежде чем задавать вопрос о чётности или нечётности функции, необходимо убедиться, что её область определения симметрична относительно начала координат: $x$ принадлежит области определения тогда и только тогда, когда $-x$ тоже принадлежит области определения.
Пример нарушения: Рассмотрим $f(x) = x^2$, определённую только на $[0, \infty)$. Формула удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ всюду, где обе части имеют смысл, но область определения не симметрична (например, $x = 3$ принадлежит области определения, а $x = -3$ — нет). Поэтому $f$ нельзя считать чётной в стандартном смысле.
2. Геометрический смысл
Чётные функции — Симметрия относительно оси $y$
График чётной функции симметричен относительно оси $y$. Если сложить график вдоль оси $y$, левая половина точно совпадёт с правой.
Наглядно: для каждой точки $(a, b)$ на графике точка $(-a, b)$ тоже лежит на графике.