Операции с комплексными числами в алгебраической форме
Общая картина: Комплексные числа — это плоскость, снабжённая умножением. При сложении они выглядят как векторы в $\mathbb{R}^2$, но становятся чем-то более богатым — полноценной числовой системой — как только мы определяем умножение, деление и сопряжение. В этом уроке мы построим каждую операцию с нуля, выведем каждую формулу и в итоге покажем, что комплексные числа образуют поле: полноценную числовую систему.
1Сложение и вычитание — покомпонентные правила
Пусть $z_1 = a_1 + b_1 i$ и $z_2 = a_2 + b_2 i$. Сложение и вычитание выполняются покомпонентно:
$$z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\,i$$ $$z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)\,i$$Аналогия с векторами
Если отождествить $z = a + bi$ с вектором $(a, b)$ в $\mathbb{R}^2$, то сложение комплексных чисел — это в точности сложение векторов: складываем первые компоненты, складываем вторые компоненты. Это не совпадение — комплексная плоскость является $\mathbb{R}^2$ как векторное пространство. Что делает её чем-то большим, чем $\mathbb{R}^2$, — это умножение, которое мы определим далее.
Свойства (напрямую наследуются от вещественной арифметики для каждой компоненты)
| Свойство | Формулировка |
|---|---|
| Коммутативность | $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$ |
| Ассоциативность | $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$ |
| Нейтральный элемент сложения | $0 = 0 + 0i$ удовлетворяет $z + 0 = z$ |
| Противоположный элемент | $-z = -a - bi$ удовлетворяет $z + (-z) = 0$ |
Каждое свойство выполняется, потому что оно выполняется для вещественной и мнимой частей по отдельности. Никакого нового доказательства не требуется.
Интерактивная визуализация: сложение комплексных чисел как сложение векторов
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
Перетаскивайте синюю и зелёную точки. Красная точка — их сумма, то есть диагональ параллелограмма.