1. Мотивация — Зачем нам нужны пределы?
Главный вопрос
К какому значению стремится функция, когда её аргумент приближается к определённой точке — даже если функция не определена в этой точке или её значение там «неправильное»?
1.1 Функция, не определённая в точке
Рассмотрим функцию:
$$ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $$
При $x = 1$ знаменатель равен нулю, поэтому $f(1)$ не определено. Однако для любого $x \neq 1$ мы можем разложить на множители:
$$ f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1 \quad (x \neq 1) $$
Когда $x$ приближается всё ближе и ближе к $1$, значение $f(x)$ приближается всё ближе и ближе к $2$. Мы записываем:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2 $$
Предел отражает тенденцию функции вблизи точки, а не её значение в самой точке.
1.2 Функция, значение которой не совпадает с тенденцией
Определим кусочную функцию:
$$ g(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{if } x \neq 1 \\ 5 & \text{if } x = 1 \end{cases} $$
Здесь $g(1) = 5$, но для всех соседних точек $g(x) = x + 1 \to 2$. Поэтому $\lim_{x \to 1} g(x) = 2$, хотя $g(1) = 5$. Предел и значение функции различаются!
1.3 Графическое исследование
На интерактивном графике ниже показана функция $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$. Обратите внимание на «дырку» в точке $(1, 2)$ — функция там не определена, но график явно стремится к этой точке.
2. Определение через эпсилон–дельта ($\varepsilon$–$\delta$)
Пусть $f$ определена на открытом интервале, содержащем $a$, за исключением, возможно, самой точки $a$. Мы говорим, что
$$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$
если для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что