1. Вопрос об экстремуме — переход к нескольким переменным
Напоминание — определения для одной переменной
Вспомним из раздела функций одной переменной:
- Локальный максимум функции $f$ в точке $x_0$ означает, что $f(x_0) \ge f(x)$ для всех $x$ из некоторого открытого интервала вокруг $x_0$.
- Локальный минимум функции $f$ в точке $x_0$ означает, что $f(x_0) \le f(x)$ для всех $x$ из некоторого открытого интервала вокруг $x_0$.
Теперь мы дословно переносим эти определения на две (или более) переменные: заменяем «открытый интервал» на «открытый круг» (или открытый шар).
Определение — локальные экстремумы функций нескольких переменных
Пусть $f(x,y)$ определена на области $D \subseteq \mathbb{R}^2$. Говорят, что $f$ имеет локальный максимум в точке $(a,b)$, если существует открытый круг с центром в $(a,b)$ такой, что $f(a,b) \ge f(x,y)$ для всех $(x,y)$ из этого круга. Локальный минимум определяется аналогично с заменой $\ge$ на $\le$.
Новый персонаж: седловые точки
В случае одной переменной критическая точка является либо локальным максимумом, либо локальным минимумом, либо точкой перегиба. В случае двух переменных появляется принципиально новое явление — седловая точка. Седловая точка — это критическая точка, в которой функция ведёт себя как минимум в одном направлении и как максимум в другом. Классический пример:
$$f(x,y) = x^2 - y^2$$