1. Сложение — правила объединения
Прежде чем говорить о независимости и умножении, нам нужно твёрдо усвоить правила сложения. Они показывают, как вычислить вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из нескольких событий — то есть вероятность объединения.
1a. Правило сложения для взаимно исключающих событий
Два события $A$ и $B$ называются взаимно исключающими (также говорят несовместными или непересекающимися), если они не могут произойти одновременно: $A \cap B = \varnothing$.
Для взаимно исключающих событий:
Почему это работает: Поскольку $A$ и $B$ не имеют общих исходов, при сложении ничего не считается дважды.
Быстрый пример: Бросаем правильный кубик. Пусть $A = \{1, 2\}$ и $B = \{5, 6\}$. Эти события не пересекаются, поэтому $P(A \cup B) = \tfrac{2}{6} + \tfrac{2}{6} = \tfrac{4}{6} = \tfrac{2}{3}$.
1b. Общее правило сложения — формула включений-исключений для двух событий
Когда события могут пересекаться (они совместны), простое сложение их вероятностей приводит к двойному подсчёту исходов, попавших в пересечение. Нужно вычесть пересечение:
Пример с подсчётом — устраняем двойной подсчёт:
Бросаем правильный кубик. Пусть $A = \{2, 4, 6\}$ (чётные) и $B = \{3, 6\}$ (больше 2 и делятся на 3).
- $P(A) = 3/6$, $P(B) = 2/6$
- $A \cap B = \{6\}$, значит $P(A \cap B) = 1/6$
- Наивная сумма: $3/6 + 2/6 = 5/6$ — но исход 6 посчитан дважды.
- Правильно: $P(A \cup B) = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6 = 2/3$.
Проверка перечислением: $A \cup B = \{2, 3, 4, 6\}$, то есть 4 исхода из 6. ✓
