Арифметическая прогрессия (Арифметическая последовательность)
Строгое, но доступное изложение — от определений до применений
1. Определение и обозначения
Что такое арифметическая прогрессия?
Последовательность действительных чисел $a_1, a_2, a_3, \ldots$ называется арифметической прогрессией (АП), если существует фиксированное действительное число $d$ — называемое разностью прогрессии — такое, что каждая пара соседних членов удовлетворяет условию
$$ a_{n+1} - a_n = d \qquad \text{для всех } n \ge 1. $$Эквивалентно, общий вид АП записывается как
$$ a,\; a+d,\; a+2d,\; a+3d,\; \ldots $$Рекуррентное определение
Задаётся первый член и правило, по которому каждый следующий член получается из предыдущего:
$$ a_1 = a, \qquad a_{n+1} = a_n + d. $$Это показывает, как растёт последовательность, но для нахождения $a_n$ требуется вычислить все предшествующие члены.
Явная (замкнутая) формула
Формула, позволяющая найти любой член по его номеру:
$$ a_n = a_1 + (n-1)d. $$Она позволяет сразу найти 1000-й член, не вычисляя первые 999.
Важные замечания о $d$
- $d > 0$: последовательность возрастающая (например, $3, 7, 11, 15, \ldots$).
- $d < 0$: последовательность убывающая (например, $20, 17, 14, 11, \ldots$).
- $d = 0$: все члены одинаковы — постоянная последовательность (например, $5, 5, 5, 5, \ldots$).
Примеры и контрпримеры
| Последовательность | АП? | Причина |
|---|---|---|
| $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$ | Да | $d = 3$ (постоянная разность) |
| $10, 6, 2, -2, -6, \ldots$ | Да | $d = -4$ |
| $7, 7, 7, 7, \ldots$ | Да | $d = 0$ |
| $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ | Нет | Разности равны $1, 2, 4, 8, \ldots$ — не постоянны (геометрическая прогрессия) |
| $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$ | Нет | Числа Фибоначчи — разности равны $0, 1, 1, 2, 3, \ldots$ |