1. Что такое функция нескольких переменных?
Функция двух переменных $z = f(x,y)$ — это правило, которое ставит в соответствие каждой упорядоченной паре $(x,y)$ из подмножества $D \subseteq \mathbb{R}^2$ единственное действительное число $z$.
$$ f : D \subseteq \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad (x,y) \mapsto z = f(x,y) $$Множество $D$ называется областью определения; множество всех выходных значений $\{f(x,y) : (x,y) \in D\}$ — областью значений.
Функция трёх переменных $w = f(x,y,z)$ ставит в соответствие каждой упорядоченной тройке $(x,y,z)$ из $D \subseteq \mathbb{R}^3$ единственное действительное число $w$.
$$ f : D \subseteq \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad (x,y,z) \mapsto w = f(x,y,z) $$В общем случае функция $n$ переменных принимает на вход $n$-набор $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$. Те же три требования действуют всегда: область определения (где функция определена?), правило (как вычисляется значение?), единственность (каждому набору входных данных соответствует ровно одно выходное значение).