Тригонометрические уравнения
Что такое тригонометрическое уравнение? Тригонометрическое уравнение — это уравнение, содержащее тригонометрические функции неизвестного угла. В отличие от тригонометрического тождества (которое выполняется для любого значения переменной), тригонометрическое уравнение удовлетворяется лишь определёнными значениями. Эти значения называются корнями (или решениями) уравнения.
Поскольку синус, косинус и тангенс являются периодическими функциями, тригонометрическое уравнение, имеющее хотя бы одно решение, как правило, имеет бесконечно много решений. Поэтому различают:
- Частные решения — решения на одном основном промежутке, обычно $[0, 2\pi)$.
- Общее решение — компактная формула, описывающая все решения путём прибавления целых кратных периода.
1. Три простейших тригонометрических уравнения
Любой метод решения тригонометрических уравнений в конечном счёте сводит задачу к одному или нескольким из этих трёх базовых видов.
| Уравнение | Условие существования | Общее решение | Период семейства |
|---|---|---|---|
| $\sin x = a$ | $|a| \le 1$ | $$x = n\pi + (-1)^{n}\arcsin a,\quad n \in \mathbb{Z}$$ | $2\pi$ |
| $\cos x = a$ | $|a| \le 1$ | $$x = 2n\pi \pm \arccos a,\quad n \in \mathbb{Z}$$ | $2\pi$ |
| $\tan x = a$ | Любое действительное $a$ | $$x = n\pi + \arctan a,\quad n \in \mathbb{Z}$$ | $\pi$ |
Почему формулы выглядят именно так
Синус. На единичной окружности горизонтальная прямая $y = a$ (при $|a|\le 1$) пересекает окружность в двух точках за один оборот:
- Семейство 1 (сторона I четверти): $x = \arcsin a + 2k\pi$
- Семейство 2 (сторона II четверти): $x = \pi - \arcsin a + 2k\pi$