1.1 Формулировка

Если $f$ и $g$ дифференцируемы в точке $x$, а $\alpha,\beta$ — константы, то

$$ \frac{d}{dx}\bigl[\alpha\, f(x) + \beta\, g(x)\bigr] = \alpha\, f'(x) + \beta\, g'(x). $$

В операторной записи: $D(\alpha f + \beta g) = \alpha\,Df + \beta\,Dg$. Это означает, что оператор дифференцирования является линейным.

1.2 Доказательство из определения

Правило постоянного множителя. Пусть $c$ — константа. Тогда:

$$ \frac{d}{dx}[c\,f(x)] = \lim_{h\to 0}\frac{c\,f(x+h)-c\,f(x)}{h} = c\,\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = c\,f'(x). $$

Мы просто выносим константу за знак предела — это обосновано правилом постоянного множителя для пределов.

Правило суммы.

$$ \frac{d}{dx}[f(x)+g(x)] = \lim_{h\to 0}\frac{[f(x+h)+g(x+h)]-[f(x)+g(x)]}{h} $$ $$ = \lim_{h\to 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right] = f'(x)+g'(x). $$

Здесь мы воспользовались правилом суммы для пределов.

Объединяя эти два результата, мы сразу получаем полное свойство линейности.

1.3 Обобщение на конечные линейные комбинации

По индукции, для любых $n$ дифференцируемых функций $f_1,\dots,f_n$ и констант $c_1,\dots,c_n$:

$$ \frac{d}{dx}\left[\sum_{k=1}^{n} c_k\,f_k(x)\right] = \sum_{k=1}^{n} c_k\,f_k'(x). $$

1.4 Непосредственное следствие — почленное дифференцирование многочленов

Любой многочлен $p(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x + a_0$ является конечной линейной комбинацией степенных функций. Используя линейность вместе с правилом степени $\frac{d}{dx}[x^k]=k\,x^{k-1}$:

$$ p'(x) = n\,a_n\,x^{n-1} + (n-1)\,a_{n-1}\,x^{n-2} + \cdots + a_1. $$