Монотонность и экстремумы функций
Алгебраический подход (без производных)
Почему это важно: Понимание того, когда функция возрастает, убывает или достигает наибольшего/наименьшего значения — одна из самых мощных идей в алгебре. В этом уроке все рассуждения чисто алгебраические — никакого математического анализа не требуется. Вы научитесь доказывать монотонность по определению, находить экстремумы с помощью выделения полного квадрата и неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим (AM–GM), а также использовать монотонность для решения уравнений и неравенств.
1. Определения монотонности
Основные определения
Пусть $f$ — функция, определённая на множестве $X$, и пусть $I \subseteq X$ — промежуток.
| Термин | Условие (для всех $x_1, x_2 \in I$ при $x_1 < x_2$) | Тип |
|---|---|---|
| Строго возрастающая | $f(x_1) < f(x_2)$ | Строгий |
| Строго убывающая | $f(x_1) > f(x_2)$ | Строгий |
| Нестрого возрастающая (неубывающая) | $f(x_1) \le f(x_2)$ | Нестрогий |
| Нестрого убывающая (невозрастающая) | $f(x_1) \ge f(x_2)$ | Нестрогий |
Функция называется монотонной на $I$, если она удовлетворяет одному из этих четырёх условий на всём промежутке $I$.
Строгая и нестрогая монотонность: Строго возрастающая функция никогда не принимает одно и то же значение дважды — каждый шаг вправо даёт строго большее значение. Неубывающая функция может иметь «плоские» участки, где $f(x_1) = f(x_2)$, хотя $x_1 < x_2$. Например, функция «целая часть» $f(x) = \lfloor x \rfloor$ является неубывающей, но не является строго возрастающей.
Монотонность на всей области определения и на подынтервалах: Функция может быть монотонной на всей своей области определения (например, $f(x) = 2x + 3$ строго возрастает на всём $\mathbb{R}$), а может быть монотонной лишь на отдельных промежутках. Так, $f(x) = x^2$ строго убывает на $(-\infty, 0]$ и строго возрастает на $[0, +\infty)$, но не является монотонной на всём $\mathbb{R}$.