Числовые множества: ℕ, ℤ, ℚ, ℝ
Изучаем основы числовой системы
Зачем нужны разные множества чисел?
На протяжении истории математики обнаруживали, что некоторые задачи не имеют решений среди уже известных чисел. Уравнение $x + 5 = 3$ не имеет решения, если мы знаем только числа для счёта. Уравнение $2x = 5$ не имеет решения, если мы знаем только целые числа. А $x^2 = 2$ не имеет решения, если мы знаем только дроби. Каждый раз требовалось новое, более широкое множество чисел. Это история о том, как числовая система строилась — слой за слоем — чтобы стать той богатой и полной системой, которую мы используем сегодня.
ℕ Натуральные числа
Натуральные числа — это самые понятные числа, это числа для счёта, которые мы изучаем ещё в детстве.
Определение:
$$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots\}$$
Свойства замкнутости ℕ
| Операция | Замкнуто? | Пример |
|---|---|---|
| Сложение ($+$) | ✓ Да | $3 + 5 = 8 \in \mathbb{N}$ |
| Умножение ($\times$) | ✓ Да | $4 \times 7 = 28 \in \mathbb{N}$ |
| Вычитание ($-$) | ✗ Нет | $3 - 5 = -2 \notin \mathbb{N}$ |
| Деление ($\div$) | ✗ Нет | $5 \div 2 = 2{,}5 \notin \mathbb{N}$ |
Невозможность всегда выполнить вычитание в ℕ приводит к необходимости создания целых чисел.