Степени и корни
Целые и дробные показатели степени, правила упрощения
1. Что такое степень числа?
Степень — это компактный способ записи многократного умножения числа на само себя.
В выражении $a^n$ число $a$ называется основанием, а надстрочное число $n$ — показателем степени (также говорят степень или индекс). Показатель степени указывает, сколько раз основание используется в качестве множителя в произведении.
| Обозначение | Название | Значение |
|---|---|---|
| $a$ | Основание | Число, которое умножается |
| $n$ | Показатель степени (степень / индекс) | Сколько раз основание используется как множитель |
Как читать вслух: $a^n$ читается как «$a$ в степени $n$» или «$a$ в $n$-й степени».
Особые случаи: $a^2$ — «$a$ в квадрате»; $a^3$ — «$a$ в кубе».
Особые случаи: $a^2$ — «$a$ в квадрате»; $a^3$ — «$a$ в кубе».
Пример: $5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$
2. Положительные целые показатели степени
Когда показатель $n$ является положительным целым числом, определение выглядит просто:
$$a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ множителей}}$$
| Выражение | Развёрнутая форма | Значение |
|---|---|---|
| $2^5$ | $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ | $32$ |
| $(-3)^3$ | $(-3)\times(-3)\times(-3)$ | $-27$ |
| $(-2)^4$ | $(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)$ | $16$ |
| $10^6$ | $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10$ | $1{}000{}000$ |
⚠️ Важное различие — знак «минус»:
$(-3)^2 = 9$ но $-3^2 = -(3^2) = -9$.
Без скобок показатель степени относится только к основанию $3$, а знак «минус» применяется после возведения в степень.
$(-3)^2 = 9$ но $-3^2 = -(3^2) = -9$.
Без скобок показатель степени относится только к основанию $3$, а знак «минус» применяется после возведения в степень.
Интерактив: Визуализация экспоненциального роста
На графике ниже показаны значения $y = 2^x$ для положительных целых значений $x$. Обратите внимание, как быстро растут значения — это отличительная черта экспоненциального роста.
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке