Неравенства с модулем (неравенства с абсолютной величиной)
Полный урок по алгебре для подготовки к поступлению в вуз
1. Введение и мотивация
Многие задачи в математике, естественных науках и инженерии требуют описания величин, которые находятся в пределах определённого расстояния от заданного значения или за пределами определённого расстояния от точки отсчёта. Например:
- Изготовленная деталь должна отклоняться от заданного диаметра не более чем на $0{,}02\,\text{мм}$.
- Для химической реакции температура должна оставаться в пределах $5°\text{C}$ от $200°\text{C}$.
- В математическом анализе формальное ($\varepsilon$-$\delta$) определение предела: $\lim_{x \to a} f(x) = L$ означает, что для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что $0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon$.
Все эти ситуации естественно выражаются с помощью неравенств с модулем (абсолютной величиной). Этот урок даст вам определения, теоремы, методы и интуицию, необходимые для уверенного решения таких неравенств.
2. Необходимые знания
Прежде чем начать, убедитесь, что вы уверенно владеете следующими темами:
- Решение линейных уравнений и неравенств
- Интервальная запись: $(a, b)$, $[a, b]$, $(-\infty, a)$, $(a, \infty)$ и объединения $\cup$
- Числовая прямая и изображение простых неравенств
- Основы теории множеств