Корни комплексных чисел
Почему это важно
Вы уже знаете, что $\sqrt{9} = 3$ (и $-3$), то есть у числа 9 два квадратных корня. Но как найти кубические корни из $-8$ или корни четвёртой степени из $i$? В мире комплексных чисел каждое ненулевое число имеет ровно $n$ различных корней $n$-й степени. Теорема Муавра — это ключ, который открывает их все.
1. Перевод в полярную (тригонометрическую) форму
Прежде чем применять теорему Муавра, нужно записать комплексное число в полярной форме.
Любое комплексное число $z = a + bi$ можно записать как:
$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$
где
- Модуль: $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ — расстояние от начала координат на диаграмме Аргана.
- Аргумент: $\theta = \arg(z)$ — угол, отсчитываемый против часовой стрелки от положительной вещественной оси. Используйте $\theta = \arctan\!\left(\dfrac{b}{a}\right)$, с поправкой на нужную четверть.
⚠️ Проверка четверти: Формула $\arctan(b/a)$ даёт правильный угол только при $a > 0$. Если число находится во II или III четверти (то есть $a < 0$), к результату нужно прибавить $\pi$. Если число находится в IV четверти при $a > 0, b < 0$, прибавьте $2\pi$, если хотите получить положительный угол.
| Алгебраическая форма | $r$ | $\theta$ | Полярная форма |
|---|---|---|---|
| $1 + i$ | $\sqrt{2}$ | $\pi/4$ | $\sqrt{2}\,(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})$ |
| $-1 + i\sqrt{3}$ | $2$ | $2\pi/3$ | $2(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})$ |
| $-2$ | $2$ | $\pi$ | $2(\cos\pi+i\sin\pi)$ |