Композиция функций (Суперпозиция функций)
1. Что такое композиция функций?
Допустим, у тебя есть две функции, $f$ и $g$. Композиция означает, что ты применяешь одну функцию к результату другой. Стандартная запись выглядит так:
$$ (f \circ g)(x) = f\!\bigl(g(x)\bigr) $$Это читается как «f, композированная с g, от x» или просто «f от g от x». Символ $\circ$ называется оператором композиции.
Какая функция действует первой?
Мы следуем обычному правилу работы со скобками — начинаем с самых внутренних скобок:
- Внутренняя функция $g$ первой принимает входное значение $x$ и вычисляет $g(x)$.
- Внешняя функция $f$ затем принимает $g(x)$ как своё входное значение и вычисляет $f(g(x))$.
Представь это как двухступенчатую машину:
$$ x \;\xrightarrow{\;g\;}\; g(x) \;\xrightarrow{\;f\;}\; f\!\bigl(g(x)\bigr) $$Пример из жизни: Допустим, температура в день $d$ года равна $T(d)$, а стоимость отопления при температуре $T$ равна $C(T)$. Тогда стоимость отопления в день $d$ равна $C\!\bigl(T(d)\bigr)$ — это композиция, где $T$ действует первой (внутренняя), а $C$ — второй (внешняя).
2. Вычисление композиций и построение формул
Вычисление в конкретной точке
Чтобы вычислить $f(g(a))$ для конкретного числа $a$, работай изнутри наружу:
- Вычисли $g(a)$ — получи число.
- Подставь это число в $f$.
Пусть $f(x) = x^2 - 2x$ и $g(x) = x - 5$. Найди $f(g(-1))$.