Размещения: перестановки из $n$ объектов по $k$
Также называются $k$-перестановками, обозначаются $P(n,k)$ или $A(n,k)$
Необходимые знания: Вы уже должны хорошо разбираться в факториалах ($n!$) и полных перестановках $n$ объектов. В этом уроке мы расширим эти идеи на случай выбора и упорядочивания только $k$ из $n$ объектов.
1. Что такое упорядоченная выборка без повторений?
Представь, что у тебя есть $n$ различных объектов и ты хочешь выбрать $k$ из них, причём порядок, в котором ты их выбираешь, имеет значение, и ни один объект нельзя выбрать дважды. Каждая такая упорядоченная выборка называется $k$-перестановкой (или размещением) из $n$ объектов.
Ключевая идея: $k$-перестановка учитывает одновременно две вещи — какие $k$ объектов ты выбираешь и в каком порядке ты их располагаешь.
Примеры из жизни
| Ситуация | $n$ | $k$ | Почему порядок важен |
|---|---|---|---|
| Вручение золотой, серебряной и бронзовой медалей 3 из 10 спортсменов | 10 | 3 | Золото–Серебро–Бронза — это не то же самое, что Серебро–Золото–Бронза |
| Выбор председателя, заместителя и казначея из 8 членов клуба | 8 | 3 | Каждая должность отличается от другой |
| Составление 4-буквенного «слова» из 26 различных букв (без повторений) | 26 | 4 | АБВГ ≠ ГВБА |
| Рассадить 5 человек на 3 пронумерованных стула | 5 | 3 | Стул 1, стул 2 и стул 3 — это разные места |
2. Вывод формулы с помощью правила умножения
Заполняем $k$ позиций по одной:
| Позиция | Доступные варианты |
|---|---|
| 1-я | $n$ |
| 2-я | $n-1$ |
| 3-я | $n-2$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ |
| $k$-я | $n - k + 1$ |
По правилу умножения (произведения):
$$ P(n,k) = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) $$Это произведение ровно $k$ последовательных убывающих целых чисел, начиная с $n$.
Компактная факториальная форма
Умножим и разделим на $(n-k)!$:
$$ P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!} $$
Почему это работает? Числитель $n!$ содержит все множители от $n$ до $1$. Деление на $(n-k)!$ сокращает множители $(n-k)(n-k-1)\cdots 2 \cdot 1$, оставляя ровно $k$ множителей: $n(n-1)\cdots(n-k+1)$.
Быстрая схема вывода
Для $P(5,3)$:
$$ P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60 \quad\text{или эквивалентно}\quad \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60 $$