Единичная окружность
Самый важный рисунок в тригонометрии — и мост между алгеброй и изучением периодических функций.
1. Определение и уравнение
Единичная окружность — это окружность радиуса $1$ с центром в начале координат $(0,0)$ декартовой системы координат.
Вспомним общее уравнение окружности с центром $(h,k)$ и радиусом $r$:
$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$
Подставив $(h,k)=(0,0)$ и $r=1$, получим уравнение единичной окружности:
Каждая точка $(x,y)$ на окружности удовлетворяет этому уравнению, и каждое решение этого уравнения лежит на окружности.
Почему радиус равен 1?
Выбор $r=1$ сделан не случайно. Когда мы вписываем прямоугольный треугольник в окружность так, что гипотенуза является радиусом, гипотенуза равна $1$. Основные тригонометрические отношения при этом значительно упрощаются:
$$\sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} = \frac{y}{1} = y, \qquad \cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} = \frac{x}{1} = x$$
Деление не нужно — координаты и есть тригонометрические значения. Именно поэтому единичная окружность — естественное место для определения синуса и косинуса.