Единичная окружность

Чтобы определить тригонометрические функции для любого действительного числа, начнём с единичной окружности — окружности с центром в начале координат и радиусом 1.

Для любого действительного числа $t$ отмерим дугу длиной $|t|$ вдоль окружности, начиная от точки $(1,0)$: против часовой стрелки, если $t > 0$, и по часовой стрелке, если $t < 0$. Конечная точка этой дуги — некоторая точка $P = (x, y)$ на окружности. Тогда определим:

Другими словами: косинус — это координата $x$, а синус — это координата $y$ точки на единичной окружности, соответствующей длине дуги (или углу) $t$.

Согласованность с определением через прямоугольный треугольник

Для острого угла $\theta$ (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$) опустим перпендикуляр из точки $P$ на ось $x$. Получится прямоугольный треугольник, у которого:

• Гипотенуза = радиус = 1
• Прилежащий катет = координата $x$
• Противолежащий катет = координата $y$

Значит, $\cos\theta = \frac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x}{1} = x$ и $\sin\theta = \frac{\text{противолежащий}}{\text{гипотенуза}} = \frac{y}{1} = y$, что полностью совпадает с определением через единичную окружность.

Почему определение через окружность распространяется на все действительные числа

Определение через прямоугольный треугольник работает только для углов от $0°$ до $90°$ (нельзя построить треугольник с углом $200°$). Единичная окружность снимает это ограничение: каждому действительному числу $t$ соответствует единственная точка на окружности, поэтому $\sin t$ и $\cos t$ определены для всех $t \in \mathbb{R}$. Более того, поскольку дуга может обходить окружность несколько раз, функции естественным образом становятся периодическими.

Интерактив: перемещайте ползунок, чтобы двигать точку по единичной окружности и наблюдать, как изменяются $\cos t$ и $\sin t$.