Основное тригонометрическое тождество
Справедливо для любого действительного числа $\theta$.
Это уравнение — самое важное тождество в тригонометрии. Оно связывает синус и косинус любого угла удивительно простым соотношением: сумма их квадратов всегда равна 1. Мы выведем его двумя способами — сначала из теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике (что работает для острых углов), а затем из уравнения единичной окружности (что работает для всех действительных чисел).
Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 1. Расположим треугольник на единичной окружности так, чтобы один из острых углов $\theta$ находился в начале координат.
- Прилежащий катет (вдоль оси $x$) имеет длину $\cos\theta$.
- Противолежащий катет (вдоль оси $y$) имеет длину $\sin\theta$.
- Гипотенуза равна радиусу единичной окружности, то есть $1$.
Теорема Пифагора гласит: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Подставляя $a=\sin\theta$, $b=\cos\theta$, $c=1$:
$$\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1^{2} = 1$$Единичная окружность — это множество всех точек $(x,y)$, удовлетворяющих уравнению
$$x^{2}+y^{2}=1.$$По определению, для любого действительного числа $\theta$ точка на единичной окружности, соответствующая углу $\theta$ от положительного направления оси $x$, имеет координаты