1. Шесть формул сложения и вычитания углов
Формулы сложения и вычитания углов (также называемые формулами суммы и разности) выражают синус, косинус или тангенс составного угла $\alpha \pm \beta$ через тригонометрические функции углов $\alpha$ и $\beta$ по отдельности.
Формулы для косинуса
$$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $$
$$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $$
Мнемоника: Знак в формуле косинуса противоположен знаку между углами. Сумма углов → знак минус; разность углов → знак плюс.
Формулы для синуса
$$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $$
$$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $$
Мнемоника: Знак в формуле синуса совпадает со знаком между углами.
Формулы для тангенса
$$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} $$
$$ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} $$
Условия применимости:
- $\tan\alpha$ должен быть определён: $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$ для любого целого $n$.
- $\tan\beta$ должен быть определён: $\beta \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$ для любого целого $n$.
- Составной угол $\alpha + \beta$ (или $\alpha - \beta$) не должен равняться $\frac{\pi}{2} + k\pi$, что равносильно требованию $1 - \tan\alpha\tan\beta \neq 0$ (или $1 + \tan\alpha\tan\beta \neq 0$).
Например, если $\alpha = 60°$ и $\beta = 30°$, то $\alpha + \beta = 90°$ и $\tan 90°$ не определён. Действительно, $1 - \tan 60°\tan 30° = 1 - \sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} = 0$.
2. Вывод — одна формула порождает все остальные
2.1 Геометрическое доказательство формулы $\cos(\alpha - \beta)$
Докажем формулу косинуса разности с помощью единичной окружности. Все остальные формулы будут следовать из этого единственного результата.