Формулы двойного и половинного угла
От формул сложения — к мощным инструментам упрощения, нахождения точных значений и не только
Необходимые знания
- Формулы сложения: $\sin(\alpha+\beta)$, $\cos(\alpha+\beta)$, $\tan(\alpha+\beta)$
- Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
- Правила знаков синуса, косинуса и тангенса по четвертям
1. Вывод формул двойного угла
Формулы двойного угла — это частный случай формул сложения, полученный при подстановке одинаковых аргументов: $\alpha = \beta = \theta$.
1.1 Синус двойного угла
Начнём с формулы сложения для синуса:
$$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $$Подставим $\alpha = \beta = \theta$:
$$ \sin(\theta + \theta) = \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta $$
$$ \boxed{\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta} $$
1.2 Косинус двойного угла — три эквивалентные формы
Начнём с формулы сложения для косинуса:
$$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $$Подставим $\alpha = \beta = \theta$:
$$ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta \quad \text{(Форма 1)} $$Форма 2 (только через косинус): Заменим $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ по основному тригонометрическому тождеству:
$$ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - (1 - \cos^2\theta) = 2\cos^2\theta - 1 \quad \text{(Форма 2)} $$Форма 3 (только через синус): Заменим $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$:
$$ \cos(2\theta) = (1 - \sin^2\theta) - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta \quad \text{(Форма 3)} $$
$$ \boxed{\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta} $$