Обратные тригонометрические функции
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — определения, свойства, композиции и применения
1. Проблема обратимости
Почему нельзя просто «обратить» синус, косинус или тангенс?
Вспомним из предыдущего изучения обратных функций, что функция $ f $ имеет обратную $ f^{-1} $ тогда и только тогда, когда $ f $ является взаимно однозначной (инъективной). Функция является взаимно однозначной, если любая горизонтальная прямая пересекает её график не более чем в одной точке.
Решение: ограничение области определения
Мы ограничиваем каждую тригонометрическую функцию на тщательно выбранном промежутке, где она:
- Строго монотонна (либо всегда возрастает, либо всегда убывает) — что гарантирует инъективность.
- Сюръективна на всё множество значений — так что каждое выходное значение по-прежнему достижимо.
Вместе эти два условия делают ограниченную функцию биекцией, а биекция всегда имеет обратную функцию.
Конкретные промежутки выбираются так, чтобы включать углы первой четверти $ (0, \pi/2) $ и быть как можно более широкими при сохранении монотонности. Это естественное и стандартное соглашение, принятое в математике.