Определение и терминология
Число $e$ определяется как предел последовательности $a_n = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$ при $n\to\infty$:
$$ e \;:=\; \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} $$Символ $:=$ подчёркивает, что это определение: число $e$ вводится как значение, к которому сходится последовательность.
Его десятичная запись начинается так: $e \approx 2.71828\,18284\,59045\ldots$ Число $e$ является иррациональным (доказано Эйлером, 1744) и, более того, трансцендентным (доказано Эрмитом, 1873). Эти факты мы приводим без доказательства.
Численное исследование
Вычислим $a_n$ для нескольких значений $n$:
| $n$ | $a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ |
|---|---|
| $1$ | $2.00000$ |
| $2$ | $2.25000$ |
| $5$ | $2.48832$ |
| $10$ | $2.59374$ |
| $100$ | $2.70481$ |
| $1\,000$ | $2.71692$ |
| $10\,000$ | $2.71815$ |
| $100\,000$ | $2.71827$ |
Члены последовательности монотонно возрастают и приближаются к $e\approx 2.71828$ снизу. Сходимость монотонная, но медленная: даже при $n=1000$ приближение совпадает с $e$ лишь до второго знака после запятой.
Почему предел существует — доказательство через монотонность и ограниченность
Чтобы доказать, что последовательность $\{a_n\}$ сходится, нужно показать два факта:
- Последовательность строго возрастает ($a_{n+1}>a_n$ для всех $n$).
- Последовательность ограничена сверху ($a_n < 3$ для всех $n$).