Что такое функция?
Определение
Функция — это правило, которое ставит в соответствие каждому допустимому входному значению ровно одно выходное значение. Записывается так:
$$f: X \to Y, \qquad y = f(x)$$
где:
- $X$ — область определения — множество всех допустимых входных значений.
- $Y$ — кообласть — множество, содержащее все возможные выходные значения.
- $x$ — аргумент (входное значение).
- $f(x)$ — значение функции (выходное значение); также называется образом элемента $x$ при отображении $f$.
Диаграмма соответствия
Представьте функцию как машину: вы подаёте на вход элемент из $X$, а машина выдаёт ровно один элемент из $Y$.
Почему важно правило «Один вход — один выход»
Не каждое соответствие между $x$ и $y$ является функцией. Определяющее свойство состоит в том, что каждому входному значению соответствует ровно одно выходное.
$y = x^2$
Для каждого $x$ существует ровно одно $y$. Например, $x = 3 \Rightarrow y = 9$ (только один ответ).
$x^2 + y^2 = 4$ (окружность)
При $x = 0$ получаем $y = 2$ и $y = -2$ — два выходных значения для одного входного!
Метод вертикальных прямых
График представляет функцию тогда и только тогда, когда любая вертикальная прямая пересекает график не более чем в одной точке. Если какая-либо вертикальная прямая пересекает график в двух или более точках, то это соотношение не является функцией.
$y = x^2$ — Проходит проверку ✓
$x^2 + y^2 = 4$ — Не проходит проверку ✗
Перетаскивайте красную точку влево и вправо. На параболе вертикальная прямая всегда пересекает график в одной точке. На окружности она может пересечь его в двух точках.