1. Постановка задачи: зачем нам новое правило
1.1 Вспоминаем композицию функций
В разделе о функциях вы узнали, что композиция функций образуется, когда результат одной функции становится аргументом другой. Если $f$ и $g$ — функции, то композиция $h = f \circ g$ определяется как
$$ h(x) = f\!\bigl(g(x)\bigr). $$Например, $h(x) = \sin(x^3)$ — это композиция $f(u) = \sin u$ (внешняя функция) и $g(x) = x^3$ (внутренняя функция). Аналогично, $k(x) = \sqrt{3x^2+1}$ — это $f(u) = \sqrt{u}$, составленная с $g(x) = 3x^2+1$.
1.2 Почему известные правила не справляются
Попробуйте продифференцировать $h(x) = (3x+1)^5$, используя только правило степени. Для этого пришлось бы сначала раскрыть пятую степень — утомительно и чревато ошибками. А для $\sin(x^3)$ раскрытие вообще невозможно. Нам нужно специальное правило для композиций.
1.3 Числовое обоснование — скорости перемножаются по цепочке
Прежде чем формулировать правило строго, давайте выработаем интуицию на примерах «цепочечного» рассуждения:
Шестерёнка A делает 3 оборота на каждый оборот входного вала. Шестерёнка B делает 2 оборота на каждый оборот шестерёнки A. Как быстро вращается шестерёнка B относительно входного вала?
$\text{Скорость}_{B/\text{вход}} = \underbrace{3}_{\text{A на вход}} \times \underbrace{2}_{\text{B на A}} = 6$