Правило Лопиталя
Систематический инструмент на основе производных для вычисления неопределённых пределов
1. Напоминание: неопределённые формы
При изучении пределов мы сталкивались с ситуациями, когда прямая подстановка приводила к выражениям, значение которых невозможно определить без дополнительного анализа. Это так называемые неопределённые формы:
Тогда мы справлялись с ними при помощи алгебраических приёмов: разложения на множители, рационализации (умножения на сопряжённое), сокращения, а также известных замечательных пределов, таких как:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $$Эти методы прекрасно работают, но для каждой новой задачи требуют изобретательности. Правило Лопиталя выполняет обещание систематического инструмента на основе производных, который напрямую работает с двумя основными неопределёнными формами $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}$, и к которым можно свести все остальные неопределённые формы.
2. Формулировка правила Лопиталя
2.1 Форма $\frac{0}{0}$
Теорема (Правило Лопиталя — ноль на ноль).
Пусть $f$ и $g$ — функции, дифференцируемые на открытом интервале $I$, содержащем точку $c$ (возможно, за исключением самой точки $c$). Предположим:
- $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = 0$ и $\displaystyle\lim_{x \to c} g(x) = 0$;
- $g'(x) \neq 0$ для всех $x \in I$, где $x \neq c$;
- $\displaystyle\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ существует (или равен $\pm\infty$).
Тогда:
$$ \boxed{\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}} $$Область применимости: Правило применимо в конечных точках ($c \in \mathbb{R}$), для односторонних пределов ($x \to c^+$ или $x \to c^-$), а также на бесконечности ($x \to +\infty$ или $x \to -\infty$).
2.2 Форма $\frac{\infty}{\infty}$
Теорема (Правило Лопиталя — бесконечность на бесконечность).
Если $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = \pm\infty$ и $\displaystyle\lim_{x \to c} g(x) = \pm\infty$, и выполнены остальные условия, указанные выше, то справедливо то же заключение:
$$ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$2.3 Основа доказательства: теорема Коши о среднем значении
Теорема Коши о среднем значении. Пусть $f$ и $g$ непрерывны на $[a,b]$ и дифференцируемы на $(a,b)$, причём $g'(x) \neq 0$ на $(a,b)$. Тогда существует хотя бы одна точка $c \in (a,b)$ такая, что:
$$ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} $$Замечание: При $g(x) = x$ это сводится к обычной теореме о среднем значении (теореме Лагранжа).
Набросок доказательства (случай 0/0, правосторонний предел)
Приведём набросок доказательства для $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)}$, где $f(a) = g(a) = 0$:
- Поскольку $g'(x) \neq 0$ вблизи $a$, по теореме о среднем значении $g(x) \neq 0$ вблизи $a$ (иначе по теореме Ролля $g'$ обращалась бы в ноль).
- Для любого $x$ вблизи $a$ (при $x > a$) применим теорему Коши на $[a, x]$: существует $c_x \in (a, x)$ такое, что $$ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)} $$
- При $x \to a^+$ имеем $c_x \to a^+$ (так как $a < c_x < x$), поэтому $$ \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{c_x \to a^+} \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)} = \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$
Случай $\frac{\infty}{\infty}$ требует более тонкого рассуждения (перезапись отношения с помощью теоремы Коши на интервалах $[x, x_1]$ и контроль остаточных членов при $g(x) \to \infty$), но в основе лежит та же теорема.