Напоминание основ: обратимость и геометрическая мотивация
Вспомним: когда функция имеет обратную?
Из нашего предыдущего изучения обратных функций мы знаем, что функция $f$ обратима (взаимно однозначна) на интервале $I$ тогда и только тогда, когда она строго монотонна на $I$ — либо строго возрастает, либо строго убывает на всём интервале. Если $f$ также непрерывна на $I$, то теорема о непрерывности обратной функции гарантирует, что $f^{-1}$ тоже непрерывна на $f(I)$.
Эти два свойства — строгая монотонность и непрерывность — являются необходимыми условиями, которые делают формулу производной обратной функции возможной.
Принцип отражения
График $f^{-1}$ является отражением графика $f$ относительно прямой $y = x$. При отражении кривой отражаются и её касательные. Касательная с наклоном $m \neq 0$ отражается в касательную с наклоном $\frac{1}{m}$.
Синяя кривая $f(x)=x^2$ и её обратная функция $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ (красная) являются отражениями относительно $y=x$. Угловые коэффициенты касательных в соответствующих точках являются обратными величинами.
Теорема об обратной функции (форма для производной)
Пусть $I$ — открытый интервал, содержащий $x_0$, и пусть $f: I \to \mathbb{R}$ — строго монотонная и непрерывная функция. Если $f$ дифференцируема в точке $x_0$ и $f'(x_0) \neq 0$, то обратная функция $f^{-1}$ дифференцируема в точке $y_0 = f(x_0)$, и: