Интегрирование по частям
Включая повторное применение
Замена одного интеграла на более простой — правило произведения, прочитанное наоборот
1. Вывод формулы — правило произведения наоборот
Отправная точка: правило произведения
Вспомним правило произведения для производных. Если $f(x)$ и $g(x)$ — дифференцируемые функции, то:
Шаг 1: Проинтегрируем обе части
Проинтегрируем каждый член по $x$. Левая часть «отменяет» производную:
Шаг 2: Перегруппируем
Выразим второй интеграл:
Две формы записи
Пусть $u = f(x)$, $dv = g'(x)\,dx$
Тогда $du = f'(x)\,dx$, $v = g(x)$
Это та форма, которую вы будете использовать чаще всего.
Удобна, когда нужно явно видеть функции и их производные.
Что на самом деле делает эта формула?
Интегрирование по частям заменяет один интеграл другим, плюс граничное произведение $uv$. Надежда в том, что новый интеграл $\int v\,du$ окажется проще, чем исходный $\int u\,dv$. Если это не так — вы выбрали неправильные части!
2. Выбор частей — правило ЛОАСП
Стратегический вопрос: какой множитель выбрать за $u$ (дифференцировать), а какой — за $dv$ (интегрировать)?
Приоритет LIATE (ЛОАСП)
Полезная эвристика — не абсолютное правило — ранжирует типы функций по тому, насколько они «хотят» быть $u$ (дифференцироваться):