Тригонометрические подстановки и тригонометрические интегралы
Общая картина. Эта тема состоит из двух частей, которые связаны между собой:
- Тригонометрические интегралы — интегрирование выражений, которые уже содержат $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\sec$ и т.д., путём преобразования с помощью тождеств.
- Тригонометрическая подстановка — введение тригонометрической функции в алгебраическое подынтегральное выражение для устранения квадратного корня.
1. Степени синуса и косинуса: $\displaystyle\int \sin^m x\,\cos^n x\,dx$
Стратегия полностью зависит от чётности показателей степени $m$ и $n$.
Случай A — Хотя бы одна нечётная степень
Правило: Отделите один множитель функции с нечётной степенью и присоедините его к $dx$, оставшуюся чётную степень преобразуйте с помощью основного тригонометрического тождества и выполните подстановку.
| Ситуация | Отделяем | Тождество | Подстановка |
|---|---|---|---|
| $n$ (степень косинуса) нечётная | один $\cos x\,dx$ | $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$ | $u=\sin x,\;du=\cos x\,dx$ |
| $m$ (степень синуса) нечётная | один $\sin x\,dx$ | $\sin^2 x = 1-\cos^2 x$ | $u=\cos x,\;du=-\sin x\,dx$ |
| Обе нечётные | Любой из двух — выберите тот, что проще | То же, что выше | То же, что выше |
Быстрый пример (нечётная степень косинуса):
$$\int \sin^2 x\,\cos^3 x\,dx = \int \sin^2 x\,(1-\sin^2 x)\,\cos x\,dx$$Пусть $u=\sin x$:
$$= \int u^2(1-u^2)\,du = \int (u^2-u^4)\,du = \frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}+C = \frac{\sin^3 x}{3}-\frac{\sin^5 x}{5}+C$$Случай B — Обе степени чётные
Правило: Многократно применяйте формулы понижения степени (половинного / двойного угла):